数学学習の記録 87 極値点と微分係数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数、その定義域を区間Iとする。また、点aを区間Iの内点とする。

点aが関数fの極値点でfはaで微分可能と仮定する。

極値点aが極大点である場合を考える。このとき、

$\exists h\in R(h\ne0)\\ [f(a+h)\leq f(a)]$

hが正(h>0)のとき、

$\lim_{h\rightarrow+0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\leq 0$

h(h<0)が負のとき、

$0\leq\lim_{h\rightarrow-0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

また、fは点aで微分可能ということから、

$\lim_{h\rightarrow +0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\\ \lim_{h\rightarrow -0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'a)$

よって

$0\leq f'(a)\leq 0$

すなわち、

となる。

点aが極小点についても同様。

以上をまとめると、fを関数、その定義域を区間Iとし、aをIの内点とする。そのとき、点aが関数fの極値点でfはaで微分可能ならば、f'(a)=0となる。

Kamimura's blog