数学学習の記録 84.1 数列の極限と関数の極限の関係性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数、aを実数、fの定義域は(a-r,a),(a,a+r)(r>0)を含むとする。また、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R,a_{n}\ne a,a_{n}\rightarrow a)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

を満たす任意の実数列に対して、

$\lim_{n\rightarrow a}{f(a_{n})}$

が存在すると仮定する。上記の条件*を満たす実数列を

$(a'_{n})_{n\in N},(a''_{n})_{n\in N}$

とする、そのとき次のような数列、

$b_{0}=a'_{0},b_{1}=a''_{1},b_{2}=a'_{2},b_{3}=a''_{3},\cdot\ \cdot\ \cdot$

を考える。そのとき、この数列も上記の条件を満たすので、仮定より、

$\lim_{n\rightarrow a}{f(b_{n})}$

が存在する。このことと、

$(f(a'_{n})),(f(a''_{n}))$

この2つの実数列がともに、

$(f({b_{n}}))$

の部分列ということから、

$\lim_{n\rightarrow a}{f(b_{n})}=\lim_{n\rightarrow a}{f(a'_{n})}=\lim_{n\rightarrow a}{f(a''_{n})}$

が成り立つ。すなわち、条件*を満たす任意の実数列

$(a_{n})_{n\in N}$

に対して、

$\lim_{n\rightarrow a}{f(a_{n})}$

が存在すると仮定すると、この極限は一定となる。なので、

$\lim_{n\rightarrow a}{f(a_{n})=\lim_{n\rightarrow a}{f(a'_{n})}=\lim_{n\rightarrow a}{f(a''_{n})}=\alpha\cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast\ast$

とおく。このとき、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}\ne\alpha$

と仮定すると、

$\neg(\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\\ [0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\varepsilon]$

すなわち、

$\exists\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\forall \delta\in R(\delta>0)\exists x\in R\\ [0<|x-a|<\delta\wedge|f(x)-\alpha|\geq\varepsilon]$

が成り立つので、

$0<|a_{n}-a|<\frac{1}{n}\wedge|f(a_{n})-\alpha|\geq\varepsilon$

を満たす数列

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

が存在する。この数列について、条件*

$a_{n}\ne a,a_{n}\rightarrow a$

を満たすが、

$\lim_{n\rightarrow a}{f(a_{n})\ne\alpha$

となり、**に矛盾する。よって、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=\alpha$

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