数学学習の記録 83.2 関数の極限の除法について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを関数、rをある実数とし、f,gの定義域は(a-r,a),(a,a+r)を含むとする。さらに、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=\alpha,\lim_{x\rightarrow a}{g(x)}=\beta\ne0$

とする。そのとき、

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$

がどうなるかを考えてみる。まず、数学学習の記録 83.1 関数の極限の乗法(積)について。より、

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}\cdot\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)}$

が成り立つ。また、

$|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{\beta}|=\frac{|g(x)-\beta|}{|g(x)|\ |\beta|}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

となる。ここで、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\\ [0<|x-a|<\delta\Rightarrow|g(x)-\beta|<\varepsilon\wedge|g(x)-\beta|<\frac{|\beta|}{2}]$

が成り立ち、

$0<|x-a|<\delta\Rightarrow|g(x)-\beta|<|\beta|\Rightarrow \\ |\beta|=|\beta+g(x)-g(x)|=|(\beta-g(x))+g(x)|\\ \leq|g(x)-\beta|\ +\ |g(x)|<\frac{|\beta|}{2}\ +\ |g(x)|\Rightarrow\\$

$\frac{|\beta|}{2}<|g(x)|\Rightarrow\frac{1}{|g(x)|}<\frac{2}{|\beta|}$

このことと、*から、上記の流れを記号を含めて記述し直すと、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\\ [0<|x-a|<\delta\Rightarrow|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{\beta}|<\varepsilon]$

よって、

$\lim_{x\rightarrow a}{\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\lim_{x\rightarrow a}{g(x)}$

となるので、

$\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}\cdot\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}}{\lim_{x\rightarrow a}{g(x)}$

Kamimura's blog

2010年2月5日金曜日

数学学習の記録 83.2 関数の極限の除法について。

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