数学学習の記録 82.2 正項級数が収束するための必要十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列、その無限級数を

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\geq0),\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}$

すなわち正項級数とする。そのとき、この正項級数の部分和が上に有界と仮定する。

$\exists M\in R\forall n\in N[\sum_{i=0}^{n}{a_{i}}<M]$

また、正項級数の部分和の数列

$(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}})_{n\in N}$

は単調増加である。

$\sum_{i=0}^{0}{a_{i}}\leq\sum_{i=0}^{1}{a_{i}}\leq\sum_{i=0}^{2}{a_{i}}\leq\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \sum_{i=0}^{n}{a_{i}}\leq\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

よって、数学学習の記録 79.5 数列が収束するための十分条件について。より、正項級数の部分和の数列は収束するので、正項級数は収束する。

逆に、上記の正項級数が収束すると仮定すると、部分和の数列も収束するので、

$\exists M\in R\forall n\in N[\sum_{i=0}^{n}{a_{i}}\leq M]$

が成り立つので、部分和は上に有界である。

まとめると、正項級数が収束するための必要十分条件はその部分和が上に有界であることである。

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\geq0),\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}\\ \exists M\in R\forall n\in N[\sum_{i=0}^{n}{a_{i}\leq M]$

Kamimura's blog