数学学習の記録 82 無限級数が収束するための必要十分条件(コーシーの条件)について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列、その無限級数をそれぞれ

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R),\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}$

とする。そのとき、数学学習の記録 80.2 実数列が収束するための必要十分条件(コーシー列)について。より、部分和が収束するための必要十分は部分和の数列、

$(\sum_{i=0}^{n}{a_{n}})_{n\in N}$

がコーシー列であること、つまり、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\\ [(n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n)\Rightarrow|\sum_{i=0}^{m}{a_{i}}-\sum_{i=0}^{n}{a_{n}}|<\varepsilon]$

より簡潔に記述すると、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N(m\leq n)\\ [n_{0}\leq m\leq n\Rightarrow|\sum_{i=m}^{n}{a_{i}|<\varepsilon|]\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

が成り立つことである。部分和が収束するならば級数の定義より、級数も収束する。

以上をまとめると、級数が収束するための必要十分条件は*が成り立つことである。

Kamimura's blog

2010年2月4日木曜日

数学学習の記録 82 無限級数が収束するための必要十分条件(コーシーの条件)について。

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