数学学習の記録 79.2 収束する数列の和の極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

2つの実数列をそれぞれ、

$(a_{n})_{n\in N},(b_{n})_{n\in N}(a_{n},b_{n}\in R)$

とし、2つとも収束する、あるいは正の無限大、あるいは負の無限大に発散すると仮定すると、

$\exists1\alpha,\beta\in\bar{R}\forall\varepsilon\in R\exists n_{1},n_{2}\in N\\<br />[(n_{1}\leq n\Rightarrow |a_{n}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2})\wedge$

$(n_{2}\leq n\Rightarrow|b_{n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{2})]$

となり、

$n_{0}=\max\left\{n_{1},n_{2}}$

とすれば、

$n_{0}\leq n\Rightarrow(|a_{n}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2}\wedge|b_{n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{2})\Rightarrow$

$|(a_{n}+b_{n})-(\alpha+\beta)|\leq |a_{n}-\alpha|+|b_{n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

となる。

まとめると、実数列、

$(a_{n})_{n\in N},(b_{n})_{n\in N$

がともに収束する、あるいは正の無限大、あるいは負の無限大に発散するならば、

$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}$

Kamimura's blog

2010年2月1日月曜日

数学学習の記録 79.2 収束する数列の和の極限について。

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