数学学習の記録 79 実数列の有界性と収束について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Nを自然数とし、実数列を

$(a_{n})_{n\in N}(a_{i}\in R)$

とする。この実数列が上に有界。

$\exists a\in R\forall n\in N[a_{n}\leq a]$

上記の実数列が下に有界。

$\exists a\in R\forall n\in N[a\leq a_{n}]$

上記の数列が有界(上にも下にも有界)。

$\exists a,b\in R\forall n\in N[a\leq a_{n}\leq b]$

あるいは、

$M=max\left\{|a|,|b|\right\}$

とし、

$\forall n\in N[|a_{n}|\leq M]$

数列が有界であるための十分条件について。

数列、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

が $\alpha$ に収束すると仮定すると、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha|<\varepsilon]$

ここで $\varepsilon$ をある実数に固定すると、

$n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}|=|(a_{n}-\alpha)+\alpha|\leq|a_{n}-\alpha|+|\alpha|<\varepsilon +|\alpha|$

となる。このとき、実数Mを

$M=max\left\{|a_{0}|,|a_{1}|,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,|a_{n_{0}-1}|,\varepsilon+|\alpha|\right\}$

とすれば、

$|a_{n}|\leq M$

よって数列

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

は有界となる。

まとめると、ある数列が収束するならば、その数列は有界である。

逆(ある数列が有界ならば、その数列は収束する)は成り立たない。

例。

$0,1,0,1,0,1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\$

は有界だが、発散する(収束しない)。

Kamimura's blog