数学学習の記録 106.1 可測単関数と積分の大小について。 | Kamimura's blog

2010年2月28日日曜日

数学学習の記録 106.1 可測単関数と積分の大小について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測関数とする。

$A\in M$

また、 $s_{1},s_{2}$ をA上の可測単関数とし、

$0\leq s_{1}\wedge 0\leq s_{2}$

とする。

このとき、

$s_{1}\leq s_{2}$

と仮定し、

$s_{1}(A)=\left\{c_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,c_{m}\right\}$

$E_{i}=\left\{x\in A|s_{1}(x)=c_{i}\right\}\ \ \ (i=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,m)$

$s_{2}(A)=\left\{d_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,d_{n}\right\}$

$F_{j}=\left\{x\in A|s_{2}(x)=c_{j}\right\}\ \ \ (j=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n)$

とおく。そのとき、

$G_{ij}=E_{i}\cap F_{j}$

とおき集合族、

$(G_{ij})$

を考えると、

$G_{ij}\in M$

すなわち、可測集合族でさらに、

$(i\ne i'\vee j\ne j')\Rightarrow G_{ij}\cap G_{i'j'}=\phi$

となるので、可測分離集合族となる。また、

$K_{E_{i}}=\sum_{j=1}^{n}{K_{G_{ij}}}$

$\mu(E_{i})=\mu\left(\bigcup_{j=1}^{n}G_{ij}\right)=\sum_{j=1}^{n}\mu(G_{ij})$

より、

$\int_{A}s_{1}\ d\mu\\<br />=\sum_{i=1}^{m}c_{i}\mu(E_{i})\\<br />=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{i}\mu(G_{ij})$

同様に、

$\int_{A}s_{2}\ d\mu=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}d_{j}\mu(G_{ij})$

仮定の

$s_{1}\leq s_{2}$

より、

$c_{i}\leq d_{j}$

となるので

$\int_{A} s_{1}\ d\mu\\<br />\leq\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{i}\mu(G_{ij})\\<br />\leq\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}d_{j}\mu(G_{ij})\\<br />=\int_{A}s_{2}\ d\mu$

以上をまとめると、

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測関数とする。

$A\in M$

また、 $s_{1},s_{2}$ をA上の可測単関数とし、

$0\leq s_{1}\wedge 0\leq s_{2}$

とすると、

$s_{1}\leq s_{2}\Rightarrow\int_{A}s_{1}\ d\mu\leq\int_{A}s_{2}\ d\mu$

が成り立つ。

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