数学学習の記録 105 測度空間と特性関数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とする。

MはX上の集合環。

$\phi\ne M\subset P(X)$

(P(X)はXのべき集合)

$\forall A,B\in M[A\cup B\wedge A-B\in M]$

さらにσ環。

$\forall A_{1},A_{2},\cdot\ \cdot\ \cdot\ \in M$

$\left[\bigcup_{n}^{\infty}A_{n}\in M\right]$

さらにσ体。

$X\in M$

$\mu$ はM上の集合関数。

$\mu:M\rightarrow\bar{R}$

さらに非負でσ加法的。

$\mu(\phi)=0$

$\forall A\in M[0\leq\mu(A)]$

$\forall A_{1},A_{2}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in M$

$\left[\forall i,j\in Z^{+}[A_{i}\cap A_{j}=\phi]\\ \Rightarrow\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_{n})}\right]$

EをXの部分集合とする。

$E\subset X$

EのXにおける特性関数。

$K_{E}:X\rightarrow \left\{0,1\right\}$

$\forall x\in X$

$\left[K_{E}(x)=\left{1\ \ \ (x\in E)\\ 0\ \ \ (x\in X-E)\right]$

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