(X,M,
)を測度空間とし、Aを可測集合とする。
関数sがA上の単関数。
すなわちsはAを定義域とする実数値関数でその値域は有限集合。
ここで、
とし、
とおく。すると
とし、
が成り立つようにできる。
このとき単関数sは、特性関数を
とし、
すなわち、特性関数の一次結合として表すことができる。
2010年2月27日土曜日
GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。
)
![\forall A,B\in M[A\cup B\in M\wedge A-B\in M]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20A%2CB%5Cin%20M%5BA%5Ccup%20B%5Cin%20M%5Cwedge%20A-B%5Cin%20M%5D)
![\left[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in M\right]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cleft%5B%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_%7Bn%7D%5Cin%20M%5Cright%5D)
%3D0)
![\forall A\in M[\leq\mu(A)]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20A%5Cin%20M%5B%5Cleq%5Cmu(A)%5D)
![\left[\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_{n})}\right]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cleft%5B%5Cmu%5Cleft(%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_%7Bn%7D%5Cright)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cmu(A_%7Bn%7D)%7D%5Cright%5D)
%5Csubset%20R)
)%3C%5Caleph_%7B0%7D)
)%3Dn%5C%20%5C%20%5C%20(n%5Cin%20N))
%3D%5Cleft%5C%7Bc_%7B1%7D%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Cc_%7Bn%7D%5Cright%5C%7D%5C%20%5C%20%5C(c_%7Bi%7D%5Cin%20R))
%3Dc_%7Bi%7D%5Cright%5C%7D)
)
![\left(A=\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}\right)\wedge\left(\forall i,j\in \left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}[E_{i}\cap E_{j}=\phi]\right)](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cleft(A%3D%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7DE_%7Bi%7D%5Cright)%5Cwedge%5Cleft(%5Cforall%20i%2Cj%5Cin%20%5Cleft%5C%7B1%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Cn%5Cright%5C%7D%5BE_%7Bi%7D%5Ccap%20E_%7Bj%7D%3D%5Cphi%5D%5Cright))
![\forall x\in E_{i}\left[K_{E_{i}}(x)=\left{1\ \ \ (x\in E_{i})\\
0\ \ \ (x\in X-E_{i})\right\right]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20x%5Cin%20E_%7Bi%7D%5Cleft%5BK_%7BE_%7Bi%7D%7D(x)%3D%5Cleft%7B1%5C%20%5C%20%5C%20(x%5Cin%20E_%7Bi%7D)%5C%5C%0A0%5C%20%5C%20%5C%20(x%5Cin%20X-E_%7Bi%7D)%5Cright%5Cright%5D)
(i%5Cin%20%5Cleft%5C%7B1%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Cn%5Cright%5C%7D))
![\left[s(x)\\
=c_{i}\\
=0c_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +1c_{i}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ 0c_{n}\\
=K_{E_{1}}(x)c_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ K_{E_{i}}(x)c_{i}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ K_{E_{n}}(x)c_{n}\right]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cleft%5Bs(x)%5C%5C%0A%3Dc_%7Bi%7D%5C%5C%0A%3D0c_%7B1%7D%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2B1c_%7Bi%7D%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%200c_%7Bn%7D%5C%5C%0A%3DK_%7BE_%7B1%7D%7D(x)c_%7B1%7D%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20K_%7BE_%7Bi%7D%7D(x)c_%7Bi%7D%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20K_%7BE_%7Bn%7D%7D(x)c_%7Bn%7D%5Cright%5D)
すなわち、特性関数の一次結合として表すことができる。
![\forall x\in A\left[s(x)=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}K_{E_{i}}}(x)\right]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20x%5Cin%20A%5Cleft%5Bs(x)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bc_%7Bi%7DK_%7BE_%7Bi%7D%7D%7D(x)%5Cright%5D)
すなわち、特性関数の一次結合として表すことができる。
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