2010年2月24日水曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とする。

A,B\subset R^{p}

また、集合列を、

\left(A_{n}\right)_{n\in N},\left(B_{n}\right)_{n\in N}\left(A_{n},B_{n}\subset R^{p}\right)

とする。

そのとき、

A_{n}\rightarrow A\wedge B_{n}\rightarrow B\ \ \ (n\rightarrow\infty)

と仮定すると、距離の定義より、

d(A_{n}\cup B_{n},A\cup B)
=\mu^{\ast}((A_{n}\cup B_{n})\triangle (A\cup B))\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast

数学学習の記録 101.2 p次元Euclid空間の部分集合の対称差とその性質について。の(4)より、

\ast\leq\mu^{\ast}((A_{n}\triangle A)\cup(B_{n}\triangle B))\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast\ast


\ast\ast\leq\mu^{\ast}(A_{n}\triangle A)+\mu^{\ast}(B_{n}\triangle B)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast\ast\ast

再び距離の定義より、

\ast\ast\ast=d(A_{n},A)+d(B_{n},B)

よって仮定より、

0\leq\lim_{n\rightarrow\infty}{d(A_{n}\cup B_{n},A\cup B)}\leq 0+0=0

すなわち

\lim_{n\rightarrow \infty}{d(A_{n}\cup B_{n},A\cup B)=0


以上をまとめると、

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とし、

A,B\subset R^{p}

集合列を、

\left(A_{n}\right)_{n\in N},\left(B_{n}\right)_{n\in N}\left(A_{n},B_{n}\subset R^{p}\right)

とするとき、

A_{n}\rightarrow A\wedge B_{n}\rightarrow B\ \ \ (n\rightarrow\infty)\\<br />\Rightarrow A_{n}\cup B_{n}\rightarrow A\cup B\ \ \ (n\rightarrow\infty)

が成り立つ。

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