数学学習の記録 101.3 p次元Euclid空間の部分空間同士の距離とその性質について。 | Kamimura's blog

2010年2月23日火曜日

数学学習の記録 101.3 p次元Euclid空間の部分空間同士の距離とその性質について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とし、また、 $\mu^{\ast}$ を外測度とする。

そのとき、AとB間の距離d(A,B)。

$d(A,B)=\mu^{\ast}(A\triangle B)\left(=\mu^{\ast}((A-B)\cup(B-A))\right)$

A,B,Cを $R^{p}$ の部分集合とするとき距離について、

$0\leq d(A,B)\leq +\infty$

数学学習の記録 101.2 p次元Euclid空間の部分集合の対称差とその性質について。の(2)より、

$d(A,A)=\mu^{\ast}(A\triangle A)=\mu^{\ast}(\phi)=0$

また、(1)より、

$d(A,B)=\mu^{\ast}(A\triangle B)=\mu^{\ast}(B\triangle A)=d(B,A)$

また、(3)および外測度の準加法性により、

$A\triangle C\subset (A\triangle B)\cup(B\triangle C)$

$\mu^{\ast}(A\triangle C)\\<br />\leq\mu^{\ast}((A\triangle B)\cup(B\triangle C))\\<br />\leq\mu^{\ast}(A\triangle B)+\mu^{\ast}(B\triangle C)$

よって、

$d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$

また、

$\mu^{\ast}(B)\leq\mu^{\ast}(A)$ $\wedge$ $\mu^{\ast}(B)\in R$

と仮定すると、

$\mu^{\ast}(A\triangle\phi)\leq\mu^{\ast}(A\triangle B)+\mu^{\ast}(B\triangle\phi)$

$\mu^{\ast}(A)\leq d(A,B)+\mu^{\ast}(B)$

$\mu^{\ast}(A)-\mu^{\ast}(B)\leq d(A,B)$

また、

$\mu^{\ast}(A)\leq\mu^{\ast}(B)\wedge\mu^{\ast}(A)\in R$

のときも同様にして、

$\mu^{\ast}(B)-\mu^{\ast}(A)\leq d(B,A)=d(A,B)$

すなわち、

$\mu^{\ast}(A)\in R\vee\mu^{\ast}(B)\in R\\<br />\Rightarrow \left|\mu^{\ast}(A)-\mu^{\ast}(B)\right|\leq d(A,B)$

以上をまとめると、p次元Euclid空間の部分集合の外測度、部分集合間の距離について

$(1)\forall A,B\subset R^{p}[0\leq d(A,B)\leq +\infty]$
$(2)\forall A\subset R^{p}[d(A,A)=0]$

$(3)\forall A,B,C\subset R^{p}\\<br />[d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)]$

$(4)\forall A,B\subset R^{p}\\<br />\left[\mu^{\ast}(A)\in R\vee\mu^{\ast}(B)\in R\\<br />\Rightarrow |\mu^{\ast}(A)-\mu^{\ast}(B)|\leq d(A,B)\right]$

が成り立つ。

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)