数学学習の記録 100.1 初等集合の集合環と正則な加法的関数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

初等集合全体の集合をEとするとき、Eは集合環となる。

$\forall A,B\in E[A\cup B\in E\wedge A-B\in E]$

この集合環E上の非負かつ有限かつ加法的な集合関数を $\mu$ とする。

$\mu:E\rightarrow R$

$\forall A\in E[0\leq\mu(A)]$

$\forall A,B\in E\\ [A\cap B=\phi\Rightarrow\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)]$

さらに $\mu$ が

$\forall A\in E\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists G\in O(E)\exists F\in A(E)$

$\left[\left(F\subset A\subset G\right)\wedge\left( \mu(G)-\varepsilon<\mu(A)<\mu(F)+\varepsilon\right)\right]$

(O(E)はEの開集合全部の集合、A(E)はEの閉集合全部の集合)

を満たすとき、集合関数 $\mu$ を初等集合の集合E上の正則な加法的関数という。

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