数学学習の記録 78.3 数列の収束と極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Nを自然数とし、数列を

$(a_{n})_{n\in N}(a_{i}\in R)$

とする。この数列が

$\alpha\in R$

に収束する。

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\\ [n>n_{0}\Rightarrow|a_{n}-\alpha <\varepsilon|]$

この $\alpha$ を上記の数列の極限といい、

$\lim_{n \rightarrow\infty}{a_{n}} =\alpha$

あるいは、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|a_{n}-\alpha|}=0$

と記述する。また、上記の数列が、

$\alpha,\beta \in R$

に収束する、すなわち

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}=\alpha\wedge\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=\beta$

とするとき、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{1},n_{2}\in N\\ [(n>n_{1}\Rightarrow|a_{n}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2})\wedge(n>n_{2}\Rightarrow|a_{n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{2})]$

となる。このとき、

$n_{0}>max\left\{n_{1},n_{2}\right\}$

とすれば、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\\ [(n>n_{0}\Rightarrow (|a_{n}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2}\wedge|a_{n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{2})\\ \Rightarrow|\alpha-\beta|=|(a_{n}-\beta)-(a_{n}-\alpha)|$

$\leq|a_{n}-\beta|+|a_{n}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\\ \Rightarrow \alpha=\beta]$

となる。よって、数列の極限が存在する場合、その極限は一意的に定まる。

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2010年1月31日日曜日

数学学習の記録 78.3 数列の収束と極限について。

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