数学学習の記録 76.1 加群の1次結合と生成される部分加群について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring)、

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\wedge(a+b)c=ac+bc]\\ (7)\forall a\in R[1a=a]$

また、MをR-加群とする。

$M\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in M[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists 0\in M\forall x\in M[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in M\exists -x\in M[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in M[x+y=y+x]$

$(5)\forall a\in R\forall x,y\in M[a(x+y)=ax+ay]\\ (6)\forall a,b\in R\forall x\in M[(a+b)x=ax+bx]\\ (7)\forall a,b\in R\forall x\in M[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in M[1x=x]$

このとき、Mのnこの元を

$x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in M(n\in N)$

とする。このn個の元によって表されるMの元

$a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}\in M(a_{i}\in R)$

をn個の元の1次結合という。また、

$M'=\left\{x\in M|\\ \exists a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n}\in R[x=a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n}x_{n}\right\}$

すなわち、M'を上記のn個の元の1次結合全ての集合とすると、

$M'\subset M\\ (1)0=0x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +0x_{n}\in M'$

$(2)\forall x,x'\in M[x+x'=\\ (a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n})+(b_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ b_{n}x_{n})\\ (a_{1}+b_{1})x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(a_{n}+b_{n})x_{n})x_{n}\in M'$