数学学習の記録 76 部分加群について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Mを環(Ring)R上の加群とする。

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

$M\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in M[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists 0\in M\forall x\in M[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall x\in M\exists -x\in M[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in M[x+y=y+x]$

$(5)\forall a\in R\forall x,y\in M[a(x+y)=ax+ay]\\ (6)\forall a,b\in R\forall x\in M[(a+b)x=ax+bx]\\ (7)\forall a,b\in R\forall x\in M[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in M[1x=x]$

NがMの部分加群。

$N\subset M$

$(1)N\ne\phi\\ (2)\forall x,y\in N[x+y\in N]\\ (3)\forall x\in N[-x\in N]\\ (4)\forall a\in R\forall x\in N[ax\in N]$

(1),(2),(3)はNがMの部分群ということでもあるので、言い換えると、NがMの部分群でスカラー倍について閉じているときNをMの部分加群という。

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2010年1月29日金曜日

数学学習の記録 76 部分加群について。

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