数学学習の記録 75.1 商空間について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Vを体K上のベクトル空間(vector space)とし、Uをその部分空間とする。

$V\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in V[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists 0\in V\forall x\in V[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in V\exists -x\in V[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in V[x+y=y+x]$

$(5)\forall a\in K\forall x,y\in V[a(x+y)=ax+ay]\\ (6)\forall a,b\in K\forall x\in V[(a+b)x=ax+bx]\\ (7)\forall a,b\in K\forall x\in V[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in V[1x=x]$

$U\subset V\\ (1)0\in U\\ (2)\forall x,y\in U[x+y\in U]\\ (3)\forall x\in U[-x\in U]\\ (4)\forall a\in K\forall x\in U[ax\in U]$

また、加法群と考え、V/UをVのUによる商群とし、VからV/Uへの写像を

$\varphi :V\rightarrow V/U\\ \forall x\in V[f(x)=xU]$

(自然な準同型写像(標準的準同型写像))とする。また、V/Uの元xUのスカラー倍a(xU)を定める。このスカラー倍が1意的であることを確認。

$\forall y\in V[xU=yU\Leftrightarrow x\equiv y\ (mod\ U)\\ \Rightarrow x-y\in U\Rightarrow a(x-y)\in U\Rightarrow ax-ay\in U\\ \Leftrightarrow ax\equiv ay\ (mod\ U)]$

よって

$\forall x,y\in V[xU=yU\Rightarrow a(xU)=a(yU)]$

以上より、V/Uの元xUのスカラー倍を定めても問題は無い。

このスカラー倍に関して、

$(1)\forall a\in K\forall xU,yU\in V/U[a(xU+yU)=a(xU)+a(yU)\\ (2)\forall a,b\in K\forall xU\in V/U[(a+b)(xU)=a(xU)+b(xU)]\\ (3)\forall a,b\in K\forall xU\in V/U[(ab)(xU)=a(b(xU))]$

$(4)\forall xU\in V/U[1(xU)=xU]$

そして、商群V/Uは(可換である)加法群でもあるので、商群V/UはK上のベクトル空間(vector space)となる。このベクトル空間をVのUによる商空間という。

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2010年1月28日木曜日

数学学習の記録 75.1 商空間について。

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