数学学習の記録 75 線形写像の像、核と次元について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

V,Wを体K,K'上ベクトル空間(vector space)とし、さらにVを有限次元とする。

$V\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in V[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists0\in V\forall x\in V[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in V\exists -x\in V[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in V[x+y=y+x]$

$(5)\forall a\in K\forall x,y\in V[a(x+y)=ax+ay]\\ (6)\forall a,b\in K\forall x\in V[(a+b)x=ax+bx]\\ (7)\forall a,b\in K\forall x\in V[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in V[1x=x]$

Wについても同様。

$dim\ V<\aleph_{0}$

また、写像fをVからWへの線形写像とする。

$f:V\rightarrow W\\ \forall a\in K\forall x,y\in V\\ [f(x+y)=f(x)+f(y)\wedge f(ax)=af(x)]$

このとき、fが零写像

$\forall x\in V[f(x)=0]$

のとき、Ker f=V,f(W)={0}なので

fが零写像ではないとき、Ker fの基底を

$\left\{v_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,v_{dimKerf}\right\}$

とし、Vの基底を

$(\ast )\left\{v_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,v_{dimKerf},u_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,u_{r}\right\}(dimKerf+r=dimV)$

とVの基底を設定出来る。よって、

$\forall x\in V\exists a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{dimKerf},b_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,b_{r}\in K$

$[x=a_{1}v_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{dimKerf}v_{dimKerf}+b_{1}u_{1}+\cdot\ \cdot\ \cdot\ +b_{r}u_{r}]$

ここで、

$\forall i\in \left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,dimKerf\right\}[f(v_{i})=0]$

より、

$\forall x\in V[f(x)=b_{1}f(u_{1})+\cdot\ \cdot\ \cdot\ ,b_{r}f(u_{r})]$

よってf(V)の任意の元は

$f(u_{1}),\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,f(u_{r})\in f(V)$

の1次結合である。ここで、

$c_{1}f(u_{1})+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +c_{r}f(u_{r})=0(c_{i}\in K)$

とする。このとき、

$f(c_{1}u_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +c_{r}u_{r})=0$

となるので、

$c_{1}u_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +c_{r}u_{r}\in Kerf$

このことから、

$\exists d_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,d_{dimKerf}\in K\\ [c_{1}u_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +c_{r}u_{r}=d_{1}v_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +d_{dimKerf} v_{dimKerf} ]$

よって、