数学学習の記録 74.3 線形写像の像と核について。 | Kamimura's blog

2010年1月27日水曜日

数学学習の記録 74.3 線形写像の像と核について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

V,Wを体K上のベクトル空間(vector space)とする。

$V\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in V[(x+y)+z=x+(y+z):\\<br />(2)\exists 0\in V\forall x\in V[x+0=0+x=x]\\<br />(3)\forall x\in V\exists -x\in V[x+(-x)=(-x)+x=0]\\<br />(4)\forall x,y\in V[x+y=y+x]$

$(5)\forall a\in K\forall x,y\in V[a(x+y)=ax+ay]\\<br />(6)\forall a,b\in K\forall x\in V[(a+b)x=ax+bx]\\<br />(7)\forall a,b\in K\forall x\in V[(ab)x=a(bx)]\\<br />(8)\forall x\in V[1x=x]$

Wについても同様。

また、fをVからWへの線形写像とする。

$f:V\rightarrow W\\<br />\forall a\in K\forall x,y\in V\\<br />[f(x+y)=f(x)+f(y)\wedge f(ax)=af(x)]$

このとき、

$0'=0f(x)=f(0x)\in f(V)\\<br />\forall x,y\in V[f(x)+f(y)=f(x+y)\in f(V)]\\<br />\forall a\in K\forall x\in V[af(x)=f(ax)\in f(V)]$

よってfの像f(V)はWの部分空間となる。

また、

f(0)=0'

より

$0\in Ker\ f$

また、

$\forall x,y\in Ker\ f[f(x+y)=f(x)+f(y)=0'+0'=0']$

より

$\forall x,y\in V[x+y\in Ker\ f]$

また、

$\forall a\in K\forall x\in Ker\ f[f(ax)=af(x)=a0'=0']$

より

$\forall a\in K\forall x\in Ker\ f[ax\in Ker\ f]$

よって、Ker fはVの部分空間となる。

まとめると、V,Wをベクトル空間(vector space),fをVからWへの線形写像とするとき、fの核(Kernel)、像はそれぞれV,Wの部分空間となる。

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