2010年1月27日水曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Vを体K上のベクトル空間とする。

V\ne\phi
(1)\forall x,y,z\in V[(x+y)+z=x+(y+z)\\ (2)\exists 0\in V\forall x\in V[0+x=x+0=x]\\ (3)\forall x\in V\exists -x\in V[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in V[x+y=y+x]
(5)\forall a,b\in Kx\in V[(a+b)x=ax+bx]\\ (6)\forall a\in K\forall x,y\in V[a(x+y)=ax+ay]\\ (7)\forall a,b\in K\forall x\in V[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in V[1x=x]


Vのn個の元を、

x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in V

とし、このn個の元によって生成されるVの部分空間をW

W=\left\{x\in W|x=a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}(a_{i}\in K)\right\}

とする。また、W'を上記のn個の元を含むVの部分空間とする。

W'\subset V\\ (1)0\in W'\\ (2)\forall x,y\in W'[x+y\in W']\\ (3)\forall a\in K\forall x\in W'[ax\in W']\\ (4)x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in W'

このとき、xをWの任意の元とする。

x=a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}\in W

そのとき、(4),(3)より

\forall i\in\left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}[a_{i}x_{i}\in W']

これと(2)より、

x=a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}\in W'

よって

W\subset W'

となる。


まとめると、ベクトル空間Vのn個の元

x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in V

で生成されるVの部分空間はこのn個の元を含むVの部分空間のうち最小のものとなる。
時刻: 13:59 ラベル: , ,

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