数学学習の記録 73.2 1次従属(線形従属)と1次独立(線形独立)

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Vを体K上のベクトル空間(vector space)とする。

$V\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in V[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists 0\in V\forall x\in V[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in V\exists -x\in V[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in V[x+y=y+x]$

$(5)\forall a,b\in K\forall x\in V[(a+b)x=ax+bx]\\ (6)\forall a\in K\forall x,y\in V[a(x+y)=ax+ay]\\ (7)\forall a,b\in K\forall x\in V[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in V[1x=x]$

$x_{1},\cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in V$

とする。このVのn個の元がK上で1次従属(線形従属)。

$\exists i\in\left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}\\ [a_{i}\ne0\wedge a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}=0]\\ (\forall j\in\left\{1,\cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}[a_{j}\in K])$

上記のn個の元が1次従属ではないときこのn個の元はK上で1次独立(線形独立)。

$\forall i\in\left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}\\ [a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}=0\Rightarrow a_{i}=0]$

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2010年1月26日火曜日

数学学習の記録 73.2 1次従属(線形従属)と1次独立(線形独立)

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