数学学習の記録 73 ベクトル空間の部分空間について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Kを体とし、VをK上のベクトル空間とする。

$V\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in V[(x+y)+z=x+(y+z)\\ (2)\exists 0\in V\forall x\in V[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in V\exists -x\in V[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in V[x+y=y+x]$

$(5)\forall a\in K\forall x,y\in V[a(x+y)=ax+ay]\\ (6)\forall a,b\in K\forall x\in V[(a+b)x=ax+ax]\\ (7)\forall a,b\in K\forall x\in V[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in V[1x=x]$

WがVの部分空間。

$W\subset V\\ 1\in W\\ \forall x,y\in W[x+y\in W]\\ \forall x\in W[-x\in W]\\ \forall a\in K\forall x\in W[ax\in W]$

つまり、WはVの部分集合で、WはVの加法部分群かつスカラー倍について閉じている。

WがVの部分空間ならば、W自身もK上のベクトル空間となる。

Kamimura's blog

2010年1月26日火曜日

数学学習の記録 73 ベクトル空間の部分空間について。

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