数学学習の記録 72.2 環準同型写像と誘導される全単射について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

R,R'を環(Ring)とし、fをRからR'への環準同型写像とする。

$\forall a,b\in R\\ [f(a+b)=f(a)+f(b)\\ \wedge f(ab)=f(a)f(b)\\ \wedge f(1)=1']$

gをfから誘導される全単射とする。

$g:R/Ker\ f\rightarrow f(R)\\ \forall a+Ker\ f\in R/Ker\ f[g(a+Ker\ f)=f(a)]$

これは加法群についてだけではなく、環としても成り立つことを確認。

$\forall a+Ker\ f,b+Ker\ f\in R/Ker\ f\\ [g((a+Ker\ f)(b+Ker\ f))=g(ab+Ker\ f)\\ =f(ab)=f(a)f(b)=g(a+Ker\ f)g(b+Ker\ f)]$

$g(1+Ker\ f)=f(1)+f(Ker\ f)=f(1)=1'$

まとめると、R,R'を環(Ring)、fをRからR'への環準同型写像とするとき、fから誘導される全単射は環同型写像となる。よって

$R/Ker\ f\simeq f(R)$

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