数学学習の記録 72.1 環準同型写像の核(Kernel)について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

R,R'を環(Ring)とし、fをRからR'への準同型写像とする。

$\forall a,b\in R[f(a+b)=f(a+b)\\ \wedge f(ab)=f(a)f(b)\\ \wedge f(1)=1']$

環準同型写像fの核。

$Ker\ f=f^{-1}(0')=\left\{a\in R|f(a)=0'\right\}$

この核は加法群の準同型としての核と同様なので、Ker fはRの加法部分群である。

$(1)1\in Ker \ f\\ (2)\forall a,b\in Ker\ f[a+b\in Ker\ f]\\ (3)\forall a\in Ker\ f[-a\in Ker\ f]$

また、

$\forall a,r\in R[a\in Ker\ f\Rightarrow f(ra)=f(r)f(a)=f(r)0'=0'\\ \wedge f(ar)=f(a)f(r)=0'f(r)=0']$

よって

$\forall a,r\in R[a\in Ker\ f\Rightarrow ra,ar\in Ker\ f]$

これと上記の(2)によりKer fはRの両側イデアルである。

まとめと、環Rから環R'への環準同型写像の核(Ker f)はRの両側イデアルとなる。

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