数学学習の記録 72 環準同型写像の像について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

R,R'を環(Ring)、fをRからR'への環準同型写像とする。

$\forall a,b\in R\\ [f(a+b)=f(a)+f(b)\\ \wedge f(ab)=f(a)f(b)\\ \wedge f(1)=1']$

上記より、fはR,R'を加法群として考えたときの準同型写像でもあるので、

$f(0)=0'\\ \forall a\in R[f(-a)=-f(a)]$

Rのfによる像f(R)について、

$1'=f(1)\in f(R)$

また、R'の任意の元a',b'に対して

$a',b'\in f(R)\Rightarrow \exists a,b\in R[f(a),f(b)\in R]$

から、

$a',b'\in f(R)\Rightarrow\\ -a'=-f(a)=f(-a),\\ a'+b'=f(a)+f(b)=f(a+b),\\ a'b'=f(a)f(b)=f(ab)\in f(R)$

よって、f(R)はR'の部分環となる。

まとめると、環Rから環R'への環準同型写像の像f(R)はR'の部分環となる。

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