数学学習の記録 71.3 商環と自然な準同型写像について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring),JをRのイデアルとする。

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

$J\subset R,J\ne\phi\\ (1)\forall a,b\in R[a,b\in J\Rightarrow a+b\in J]\\ (2)\forall a,r\in R[a\in R\Rightarrow ra\in J\wedge ar\in J]$

環(Ring)Rから商環R/Jへの自然な準同型写像(標準的準同型写像)。

$\forall a\in R[\varphi(a)=a+J]$

準同型であることを確認。

$\forall a,b\in R[\varphi(a+b)=(a+b)+J=\\ (a+J)+(b+J)=\varphi(a)+\varphi(b)\wedge\\ \varphi(ab)=ab+J=(a+J)(b+J)=\varphi(a)\varphi(b)]\\ \wedge\varphi(1)=1+J]$

よって準同型写像となっている。

Kamimura's blog

2010年1月24日日曜日

数学学習の記録 71.3 商環と自然な準同型写像について。

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