数学学習の記録 71.1 イデアルと商環について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring),JをRのイデアルとする。

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge(a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

$J\ne\phi.J\subset R$

$(1)\forall a,b\in R[a,b\in J\Rightarrow a+b\in J]\\ (2)\forall a,r\in R[a\in J\Rightarrow ra\in J\wedge ar\in J]$

Rを加法群、JはRの加法部分群と考え、RのJを法とする合同関係とRのJによる剰余群R/Jを考える。Rの元a,bがJを法として合同。

$a-b\in J\\ a\equiv b\ (mod\ J)$

剰余群R/Jの加法は

$\forall a,b\in R[(a+J)+(b+J)=(a+b)+J]$

となる。また剰余群R/Jの乗法

$\forall a,b\in R[(a+J)(b+J)=ab+J]$

とする。上記の加法、乗法について剰余群R/Jは環となる。

$R/J\ne\phi$

$(1)\forall a+J,b+J,c+J\in R/J[((a+J)+(b+J))+(c+J)\\ =(a+J)+((b+J)+(c+J))]\\ (2)\exists 0+J\in R/J\forall a+J\in R/J\\ [(0+J)+(a+J)=(a+J)+(0+J)=a+J]\\ (3)\forall a+J\in R/J\exists (-a)+J\in R/J$

$[(a+J)+((-a)+J)=((-a)+J)+(a+J)=0+J]\\ (4)\forall a+J,b+J\in R/J\\ [(a+J)+(b+J)=(b+J)+(a+J)]$

$(5)\forall a+J,b+J,c+J\in R/J\\ [((a+J)(b+J))(c+J)=(a+J)((b+J)(c+J))]\\ (6)\forall a+J,b+J,c+J\in R/J\\ [(a+J)((c+J)+(b+J))=(a+J)(c+J)+(a+J)(b+J)\\ \wedge ((a+J)+(b+J))(c+J)=(a+J)(c+J)+(b+J)(c+J)]$

$(7)\exists 1+J\in R/J\forall a+J\in R/J\\ [(1+J)(a+J)=(a+J)(1+J)=a+J]$

この環R/Jを商環という。

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2010年1月24日日曜日

数学学習の記録 71.1 イデアルと商環について。

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