Kamimura's blog
プログラミング(Python、Perl、C、Go、JavaScript)、数学、読書…
2010年1月23日土曜日
数学学習の記録 70.2 環(Ring)と生成されたイデアルの特徴について。
GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。
Rを環(Ring)、
また、JをRのn個の元、
で生成されたRの左イデアルとする。
そのとき、
となるので、
また、J'をRの任意の左イデアル、
とし、
と仮定する。そのとき、J'の定義と仮定から、
となる。
よって生成されたRの左イデアルJは上記のRのn個の元を含む最小の左イデアルとなる。
Rの右イデアルについても同様のことが成り立つ。
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![(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\<br />(2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\<br />(3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\<br />(4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=(1)%5Cforall%20a%2Cb%2Cc%5Cin%20R%5B(a%2Bb)%2Bc%3Da%2B(b%2Bc)%5D%5C%5C%0A(2)%5Cexists%200%5Cin%20R%5Cforall%20a%5Cin%20R%5Ba%2B0%3D0%2Ba%3Da%5D%5C%5C%0A(3)%5Cforall%20a%5Cin%20R%5Cexists%20-a%5Cin%20R%5Ba%2B(-a)%3D(-a)%2Ba%3D0%5D%5C%5C%0A(4)%5Cforall%20a%2Cb%5Cin%20R%5Ba%2Bb%3Db%2Ba%5D)
![(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\<br />(6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\<br />\wedge (a+b)c=ac+bc]\\<br />(7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=(5)%5Cforall%20a%2Cb%2Cc%5Cin%20R%5B(ab)c%3Da(bc)%5D%5C%5C%0A(6)%5Cforall%20a%2Cb%2Cc%5Cin%20R%5Ba(b%2Bc)%3Dab%2Bac%5C%5C%0A%5Cwedge%20(a%2Bb)c%3Dac%2Bbc%5D%5C%5C%0A(7)%5Cexists%201%5Cin%20R%5Cforall%20a%5Cin%20R%5B1a%3Da1%3Da%5D)
)
![J=(a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n})\\<br />=\left\{j\in R|\exists x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in R[j=x_{1}a_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +x_{n}a_{n}]\right\}](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J%3D(a_%7B1%7D%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Ca_%7Bn%7D)%5C%5C%0A%3D%5Cleft%5C%7Bj%5Cin%20R%7C%5Cexists%20x_%7B1%7D%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Cx_%7Bn%7D%5Cin%20R%5Bj%3Dx_%7B1%7Da_%7B1%7D%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Bx_%7Bn%7Da_%7Bn%7D%5D%5Cright%5C%7D)
![\forall i\in\left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}\\<br />[a_{i}=0a_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +1a_{i}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ 0a_{n}]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20i%5Cin%5Cleft%5C%7B1%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Cn%5Cright%5C%7D%5C%5C%0A%5Ba_%7Bi%7D%3D0a_%7B1%7D%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2B1a_%7Bi%7D%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%200a_%7Bn%7D%5D)
![\forall i\in\left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}[a_{i}\in (a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n})]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20i%5Cin%5Cleft%5C%7B1%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Cn%5Cright%5C%7D%5Ba_%7Bi%7D%5Cin%20(a_%7B1%7D%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Ca_%7Bn%7D)%5D)
![J'\subset R\wedge J'\ne\phi\\<br />\forall a,b\in R[a,b\in J'\Rightarrow a+b\in J']\\<br />\forall a,r\in R[a\in J'\Rightarrow ra\in J']](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=J'%5Csubset%20R%5Cwedge%20J'%5Cne%5Cphi%5C%5C%0A%5Cforall%20a%2Cb%5Cin%20R%5Ba%2Cb%5Cin%20J'%5CRightarrow%20a%2Bb%5Cin%20J'%5D%5C%5C%0A%5Cforall%20a%2Cr%5Cin%20R%5Ba%5Cin%20J'%5CRightarrow%20ra%5Cin%20J'%5D)
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