数学学習の記録 70.1 環(Ring)とイデアルの生成について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring)、

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

とし、また、

$a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n}\in R(n\in N)$

とする。このn個の元で生成されるRの左イデアル。

$J=(a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n})\\ =\left\{j\in R|\exists x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in R[j=x_{1}a_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ +x_{n}a_{n}\right\}$

Jが実際に左イデアルであることの確認。

$\forall x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n},y_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,y_{n},r\in R\\ [(x_{1}a_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n})+(y_{1}a_{n}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +y_{n}a_{n})$

$=(x_{1}+y_{1})a_{n}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(x_{n}+y_{n})a_{n}\\ \wedge r(x_{1}a_{n}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +x_{n}a_{n})\\ =(rx_{1})a_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(rx_{n})a_{n}]$

よって、

$\forall a,b\in R[a,b\in J\Rightarrow a+b\in J]\\ \forall a,r\in R[a\in J\Rightarrow ra\in J]$

Kamimura's blog

2010年1月23日土曜日

数学学習の記録 70.1 環(Ring)とイデアルの生成について。

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