2010年1月22日金曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring)としR'をRの部分集合とする。

R\ne\phi
(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[(-a)+a=a+(-a)=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]
(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]

R'\subset R


R'について、

(1)1\in R'\\ (2)\forall a\in R'[-a\in R']\\ (3)\forall a,b\in R'[a+b\in R'\wedge ab\in R']
((1)の1について:上記の(7)と同様の1)

を満たすと仮定する。そのとき、仮定(1)よりR'はRの単位元1を含み、(2)より任意のR'の元aに対してaの逆元-aがR'に存在し、さらに算法、加法乗法についてR'は閉じていて、その加法、乗法はRのものと同様なので、R'は環の定義(1),(3).(4),(5),(6),(7)を満たす。また、環の(2)について仮定の(2),(3)から

\forall a\in R'\exists -a\in R'[0=a+(-a)\in R']

よって

0\in R'

以上によりR'はRの部分環となる。

逆にR'をRの部分環とする。そのとき、部分環の定義から上記の(1),(2),(3)が成り立つことが分かる。


まとめると、環(Ring)Rの部分集合R'がRの部分環であるためには、上記の(1),(2),(3)を満たすことが必要十分条件となる。
時刻: 15:53 ラベル: , ,

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)