数学学習の記録 69 有限な整域と体について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを零環ではない環(Ring)とし、さらに可換環で、零因子を持たない、すなわち整域とする。

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[0+a=a+0=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

$(8)\forall a,b\in R[ab=ba]$

$\forall a,b\in R-\left\{ 0 \right\} [ab\ne0]$

さらにRを有限集合とする。

$card\ R<\aleph_{0}$

aをR-{0}の任意の元とする。RからRへの写像fを

$\forall x\in R[f(x)=ax]$

とする。そのとき、

$\forall x,y\in R[f(x)=f(y)\Leftrightarrow ax=ay\\ \Leftrightarrow ax-ay=0\Leftrightarrow a(x-y)=0]$

Rは整域(零因子を持たない可換環)なので、上記のx,yについて

$x-y=0\Leftrightarrow x=y$

となる。よってfは単射となる。また、Rは有限集合なのでfは全射である。よってRの元1に対して

$\exists x\in R[ax=1]$

となるので、aは可逆元(単元)となる。よってRは体となる。

まとめると、有限な整域は体である。

Kamimura's blog

2010年1月22日金曜日

数学学習の記録 69 有限な整域と体について。

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