数学学習の記録 68.2 整域と体について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring)(零環ではない)とする。

$R\ne\left\{0(=1)},\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[0+a=a+0=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

Rを体と仮定すると、Rは可換環となる。

$\forall a\in R-\left\{0\right\}\exists a^{-1}\in R-\left\{0\right\}[aa^{-1}=a^{-1}a=1]\\ \forall a,b\in R-\left\{0\right\}[ab=ba]$

また、上記の(5),(7)より

$\forall a,b,c\in R-\left\{0\right\}[(ab)c=a(bc)]\\ \exists 1\in R-\left\{0\right\}\forall a\in R-\left\{0\right\}[1a=a1=a]$

よってR-{0}は乗法について可換群となることから

$\forall a,b\in R-\left\{0\right\}[ab\in R-\left\{0\right\}]$

よって

$\forall a,b\in R[a\ne0\wedge b\ne0\Rightarrow ab\ne0]$

よって可換環Rは零因子を持たないので、Rは整域となる。

上記をまとめると、任意の体は整域である。

Kamimura's blog

2010年1月21日木曜日

数学学習の記録 68.2 整域と体について。

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