数学学習の記録 67.2 自己準同型写像を元とする環の例。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Aを加法群(可換群)とする。

$(1)\forall a,b,c\in A[(a+b)+c=a+(b+d)]\\ (2)\exists 0\in A\forall a\in A[0+a=a+0=a]\\ (3)\forall a\in A\exists -a\in A[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in A[a+b=b+a]$

End(A)をAからAへの準同型写像(自己準同型写像)全部の集合とする。End(A)の元の算法、加法を

$\forall f,g\in End(A)\\ [\forall a\in A[(f+g)(a)=f(a)+g(a)]$

と定める。この加法が閉じていることを確認。

$\forall f,g\in End(A)\\ [\forall a,b\in A\\ [(f+g)(a+b)\\ =(f+g)a+(f+g)b\\ =f(a)+g(a)+f(b)+g(b)\\ =f(a)+f(b)+g(a)+g(b)\\ =f(a+b)+g(a+b)]]$

となるので、

$\forall f,g\in End(A)[f+g\in End(A)]$

また、End(A)の算法、乗法を写像の合成

$\forall f,g\in End(A)[f\circ g]$

とする。乗法が閉じていることを確認。

$\forall f,g\in End(A)[\forall a,b\in A[(f\circ g)(a+b)\\ =f(g(a+b))=f(g(a)+g(b))\\ =f(g(a))+f(g(b))=(f\circ g)(a)+(f\circ g)(b)]]$

となるので、

$\forall f,g\in End(A)[f\circ g\in End(A)]$

上記の加法について。

$\forall f,g,h\in End(A)[\forall a\in A\\ [((f+g)+h)(a)=(f+g)(a)+h(a)\\ =f(a)+g(a)+h(a)=f(a)+(g+h)(a)\\ =(f+(g+h))(a)]]$

よって、

$\forall f,g,h\in End(A)[(f+g)+h=f+(g+h)]$

また、

$\forall a\in A[z(a)=0]$

とすれば、

$\forall f\in End(A)[z+f=f+z=f]$

また、任意のfに対して、-fを

$\forall a\in A[(-f)(a)=-f(a)]$

と定めると、

また、

$\forall f,g\in End(A)[\forall a\in A\\ [(f+g)(a)=f(a)+g(a)\\ =g(a)+f(a)=(g+f)(a)]]$

よって、

$\forall f,g\in End(A)[f+g=g+f]$

よって加法について可換群となる。

また、

$\forall f,g,h\in End(A)[(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)]$

また、

$\forall f,g,h\in End(A)[\forall a\in A\\ [f\circ(g+h)(a)=f((g+h)(a))\\ f(g(a)+h(a))=f\circ g(a)+f\circ h(a)]]$

よって、

$\forall f,g,h\in End(A)[f\circ(g+h)=f\circ g+f\circ h]$

同様に、

$\forall f,g,h\in End(A)[(f\circ g)\circ h=f\circ h+g\circ h]$

また、iを

$\forall a\in A[i(a)=1]$

と定めれば、

$\forall f\in End(A)[f\circ i=i\circ f=f]$

よって上記の算法、加法と乗法について集合End(A)は環(Ring)となる。この環End(A)を加法群Aの自己同型環という。

Kamimura's blog

2010年1月20日水曜日

数学学習の記録 67.2 自己準同型写像を元とする環の例。

0 コメント:

コメントを投稿