数学学習の記録 67.1 写像を元とする集合の環の例。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring),Sを空でない集合とする。

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[0+a=a+0=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R\\ [a(b+c)=ab+ac\wedge(a+b)c=ab+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

$S\ne\phi$

また、M(S,R)集合Sから環R(Ring)への写像全部の集合とし、M(S,R)に算法、加法、乗法を以下のように導入する。

$\forall f,g\in R[\forall s\in S[(f+g)(s)=f(s)+g(s)]]\\ \forall f,g\in R[\forall s\in S[(fg)(s)=f(s)g(s)]}$

上記の算法の加法、乗法を導入した集合M(S,R)について。

加法について、

$(1)\forall f,g,h\in M(S,R)[(f+g)+h=f+(g+h)]\\ (2)\exists z\in M(S,R)(\forall s\in S[z(s)=0])\forall f\in M(S,R)\\ [z+f=f+z=f]$

$(3)\forall f\in M(S,R)\exists -f\in M(S,R)\\ (\forall s\in S[(-f)(s)=-f(s)])\\ [f+(-f)=(-f)+f=z]\\ (4)\forall f,g\in M(S,R)[f+g=g+f]$

乗法について。

$(6)\forall f,g,h\in M(S,R)[f(g+h)=fg+fh\\ \wedge (f+g)h=fh+gh]\\ (7)\exists i\in M(S,R)(\forall s\in S[i(s)=1])\forall f\in M(S,R)\\ [is=si=s]$

よって集合M(S,R)は上記の加法、乗法の算法について環と成る。

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2010年1月20日水曜日

数学学習の記録 67.1 写像を元とする集合の環の例。

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