数学学習の記録 67 実数値関数を元とする集合の環の例。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

区間[0,1]を定義域とする実数値関数全部の集合Rを考える。この集合の加法、乗法の算法を

$\forall t\in[0,1]\forall f,g\in R\\ [(f+g)(t)=f(t)+g(t)]\\$

$\forall t\in [0,1]\forall f,g\in R\\ [(fg)(t)=f(t)g(t)]$

と定義する。そのとき、加法について

$(1)\forall f,g,h\in R[(f+g)+h=f+(g+h)]\\ (2)\exists z\in R(\forall t\in [0,1](z(t)=0)\forall f\in R\\ [f+z=z+f=f]\\ (3)\forall f\in R\exists-f\in R(\forall t\in [0,1](-f(t)=-f(t)])\\ [f+(-f)=(-f)+f=z]$

$(4)\forall f,g\in R[f+g=g+f]$

が成り立つ。また、乗法について

$(5)\forall f,g,h\in R[f(g+h)=fg+fh]\\ (6)\forall f,g,h\in R[(f+g)h=fh+gh]\\ (7)\exists i\in R(\forall t\in [0,1][i(t)=1])\forall f\in R\\ [if=fi=f]$

が成り立つ。

よって集合Rは上記の加法、乗法を算法として環を成す。

Kamimura's blog

2010年1月20日水曜日

数学学習の記録 67 実数値関数を元とする集合の環の例。

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