数学学習の記録 64.2 群(Group)GからGへの同型写像と自己同型群について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群(Group),fをGからGへの写像とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

$f:G\rightarrow G$

fがGの自己同型写像。

$\forall a,b\in G[f(ab)=f(a)f(b)]\wedge\\ \forall b\in G\exists a\in G[f(a)=b]\wedge\\ \forall a,b\in G[f(a)=f(b)\Rightarrow a=b]$

上記を満たす写像fすべての集合をAut(G)と記述する。

Aut(G)は写像の合成に関して群(Group)となる。

$(1)\forall f,g\in Aut(G)\\ [(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)]\\ (2)\exists I_{G}\in Aut(G)\forall f\in Aut(G)\\ [I_{G}\circ f=f\circ I_{G}=f]$

$(3)\forall f\in Aut(G)\exists f^{-1}\in Aut(G)\\ [f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=I_{G}]$

Aut(G)をGの自己同型群という。

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