数学学習の記録 50 距離空間の完備性

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(S,d)=Sを距離空間とする。

$(1)\forall x,y\in S[d(x,y)\geq 0]\\ (2)\forall x,y\in S[d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y]\\ (3)\forall x,y\in S[d(x,y)=d(y,x)]\\ (4)\forall x,y,z\in S[d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)]$

Sが完備である。

$(a_{n})_{n\in N}$

をSの任意のCaucy点列、すなわち

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\\ [m,n\geq n_{0}\Rightarrow d(a_{m},a_{n})<\varepsilon]$

が成り立つとする。

そのとき、上記のCaucy点列が収束する。すなわち

$\exists a\in S[\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a]$

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2010年1月3日日曜日

数学学習の記録 50 距離空間の完備性

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