数学学習の記録 41 シンプルな距離関数

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

いろいろな距離関数の例。

Sを任意の集合とする。

$\forall x,y\in S$

$d(x,y)=\left\{1\ (x\ne y)\\ 0\ (x=y)$

(1)について

$\forall x,y\in S[d(x,y)\geq 0]$

(2)について

$\forall x,y\in S[d(x,y)=0\\ \Rightarrow x=y\\ \Rightarrow d(x,y)=0]$

(3)について

$\forall x,y\in S[d(x,y)=0\\ \Rightarrow x=y\\ \Rightarrow d(x,y)=0]$

(4)について

任意のSの元x,y,zに対して

のとき

$d(x,z)=0\leq d(x,y)+d(y,z)$

$x\ne z$

のとき

$x=y\wedge y=z$

とすると

となり矛盾が生じるので

$x\ne y\vee y\ne z$

よって

$d(x,z)=1\leq d(x,y)+d(y,z)$

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