数学学習の記録 28 位相空間Rの連結性について

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

位相空間(R,O(R))について。

$O(R)\cap A(R)=\left\{R,\phi\right\}$

$\forall M\subset R [O_{M}\cap A_{M}=\left\{M,\phi\right\}\Leftrightarrow$

$M=R,(a,b),[a,b],(a,b],[a,b),(a,\infty ),[a,\infty),(-\infty,b),(-\infty,b]$

(MはR、あるいはいずれかの区間)

中間値の定理。

Sを集合、

$f:S\rightarrow R$

を写像とする。

$O_{S}\cap A_{S}=\left\{S,\phi}$

$\forall M\subset R[M\in O(R)\Rightarrow f^{-1}(M)\in O_{S}]$

$f(x_{1})=\alpha ,f(x_{2})=\beta ,\ \alpha <\beta$

とする。そのとき次のことが成り立つ。

$\forall\gamma\in R(\alpha<\gamma<\beta)\exists x\in S[f(x)=\gamma]$

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