を2つの位相空間とする。
![(1)\forall O''\in O_{2}[f^{-1}(O'')\in O_{1}]\\
(2)\forall A''\in A_{2}[f^{-1}(A'')\in A_{1}]\\
(3)\forall x\in S_{1}(x''=f(x))\forall V''\in V_{2}(x'')[f^{-1}(V'')\in V_{1}(x)]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=(1)%5Cforall%20O''%5Cin%20O_%7B2%7D%5Bf%5E%7B-1%7D(O'')%5Cin%20O_%7B1%7D%5D%5C%5C%0A(2)%5Cforall%20A''%5Cin%20A_%7B2%7D%5Bf%5E%7B-1%7D(A'')%5Cin%20A_%7B1%7D%5D%5C%5C%0A(3)%5Cforall%20x%5Cin%20S_%7B1%7D(x''%3Df(x))%5Cforall%20V''%5Cin%20V_%7B2%7D(x'')%5Bf%5E%7B-1%7D(V'')%5Cin%20V_%7B1%7D(x)%5D)
)](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%20%5BV''%5Cin%20V_%7B2%7D(a')%5CRightarrow%20f%5E%7B-1%7D(V'')%5Cin%20V_%7B1%7D(a)%5D(a'%3Df(a)))
![(1)\forall a,b\in R(a<b)[f^{-1}((a,b))=\left\{ x\in S | a<f(x)<b\right}\in O]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=(1)%5Cforall%20a%2Cb%5Cin%20R(a%3Cb)%5Bf%5E%7B-1%7D((a%2Cb))%3D%5Cleft%5C%7B%20x%5Cin%20S%20%7C%20a%3Cf(x)%3Cb%5Cright%7D%5Cin%20O%5D%0A)
%5Cforall%20a%2Cb%5Cin%20R%20%5Bf%5E%7B-1%7D((a%2C%5Cinfty))%3D%5Cleft%5C%7Bx%5Cin%20S%7Cf(x)%3Ea%5Cright%5C%7D%5Cin%20O)
![\wedge f^{-1}((-\infty,b))=\left\{ x\in S|f(x)<b\right\}\in O]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cwedge%20f%5E%7B-1%7D((-%5Cinfty%2Cb))%3D%5Cleft%5C%7B%20x%5Cin%20S%7Cf(x)%3Cb%5Cright%5C%7D%5Cin%20O%5D)
%5Cforall%20x_%7B0%7D%5Cin%20S%5C%20%5Cforall%5Cepsilon%5Cin%20R(%5Cepsilon%20%3E0)%5Bf%5E%7B-1%7D((f(x_%7B0%7D)-%5Cepsilon%2Cf(x_%7B0%7D%2B%5Cepsilon))%0A)
%3Cf(x_%7B0%7D)%2B%5Cepsilon%5Cright%5C%7D)
![=\left\{x\in S ||f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\right\}\in V(x_{0})]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%3D%5Cleft%5C%7Bx%5Cin%20S%20%7C%7Cf(x)-f(x_%7B0%7D)%7C%3C%5Cepsilon%5Cright%5C%7D%5Cin%20V(x_%7B0%7D)%5D)
を写像とする。
以上の3条件は互いに同等。
fがSの点aで連続。
(S,O)を位相空間とする。Sで定義された実数値関数fが実連続関数であるための必要十分条件。
今日、Google ドキュメントのTeXは計算式が長すぎるとエラーになる事に気づきました。(最後の計算式で3つ目の式を記述している時に"計算式が長すぎます"とエラーが出ました)なので、これからはなるべく1つの式ずつ挿入していこうと思います、
今日も新たな発見があり、数学学習がわくわく楽しみな今日この頃です。
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