2009年11月29日日曜日

Google ドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

整列集合の 比較定理。
(1)W\simeq W'\\ (2)\exists a'\in W'[W\simeq W'<a'>]\\ (3)\exists a\in W[W<a>\simeq W']
のいずれか1つのみが成り立つ。
実数全体の集合Rのn個の直積。
R\times R\times\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \times R=R^{n}
平面R^{2}の距離d(x,y)。
d(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}
R^{n}の距離d(x,y)。
d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i}})^{2} }
d(x,y)の性質。
(1)\forall x,y\in R[d(x,y)\geq 0]\\ (2)\forall x,y\in R[d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y]\\ (3)\forall x,y\in R[d(x,y)=d(y,x)]\\ (4)\forall x,y,z\in R[d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)]
中心a,半径εの球体。
B(a;\varepsilon )=\left\{x\in R^{n} |d(a,x)<\varepsilon\right\}
M\subset R^{n}とする。
aがMの内点。
\exists\varepsilon\in R^{n}[\varepsilon\geq 0\wedge B(a;\varepsilon)\subset M]
Mの内部。
M^{\circ}=\left\{ a\in M | \exists\varepsilon\in R^{n}[\varepsilon\geq 0\wedge B(a;\varepsilon)\subset M]\right}
Mの外部。
M^{e}=(M^{c})^{\circ}
Mの境界。
M^{f}=R^{n}-(M^{\circ}\cup M^{f})
Mの閉包
\bar{M}=M^{\circ} \cup M^{f}
開集合系。(開集合全体の集合)
O(R^{n})
次のことが成り立つ。
\forall O\subset R^{n}(O\ne\phi)([O\in O(R^{n})]\Leftrightarrow \forall o\in O[o\in O^{\circ}])
以下のように略して記述することとする。
O(R^{n})=O
(1) R^{n}\in O\wedge \phi\in O\\ (2) O_{1},O_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,O_{k}\in O\Rightarrow\bigcap_{i=1}^{k}O_{i}\ \in O\\
(3)\forall \Lambda [\forall\lambda\in\Lambda (O_{\lambda}\in O)] \Rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in O
閉集合系。(閉集合全体の集合)
A(R^{n})=A
次のことが成り立つ。
(1)R^{n}\in A\wedge\phi\in A\\ (2)A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,A_{k}\Rightarrow\bigcup_{i=1}^{k}A_{i}\in A\\
(3)\forall\Lambda[\forall\lambda\in\Lambda(A_{\lambda}\in A)]\Rightarrow\Bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\in A
内部、閉包の特徴。
\forall M\subset R^{n}[\forall O'\in O(O'\subset M\Rightarrow O'\subset M^{\circ})]\\ \forall M\subset R^{n}[\forall A'\in A(M\subset A'\Rightarrow \bar{M} \subset A')]
DがO(開集合系)の基底。
\forall O'\in O[\exists\Lambda(O'=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}(O_{\lambda}\in D))]

もう少し計算式入力になれてきたら、数式入力の練習をしつつも、実際に問題や証明等も完全電子化で行おうと思っています。その日が来るのがわくわく楽しみな今日この頃です。

時刻: 12:01 ラベル: , , , ,

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)