数学学習の記録 477 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 5

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{(-a_{n})}$

$\leq\sup\left{-a_{n}|n\in N\right}$

$=\inf\left{a_{n}|n\in N\right}$

$\leq-\liminf_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}$

逆に、

$-\liminf_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}$

$\leq-\inf\left{a_{n}|n\in N\right}$

$=-\sup\left{-a_{n}|n\in N\right}$

$\leq \limsup_{n\rightarrow\infty}{(-a_{n})}$

よって

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{(-a_{n})}=-\liminf_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}$

(証明終)

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